10.Найдите наибольшее значение функции f(x) = 3х* - 5х + 7 на отрезке (-1;3]
Для определения наибольшего значения функции \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \) на отрезке (-1;3], необходимо найти вершину параболы, которая задает данную функцию.
Сначала найдем вершину параболы, используя формулу вершины параболы \( x = -\frac{b}{2a} \) , где a это коэффициент перед квадратичным членом, а b - перед линейным членом.
В нашем случае, уравнение имеет вид: \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \). Следовательно, a = 3, b = -5. Теперь находим x-координату вершины: \( x = -\frac{-5}{2*3} = \frac{5}{6} \).
Следующий шаг - подставить полученное значение x обратно в уравнение для нахождения y-координаты вершины: \( y = 3 * (\frac{5}{6})^2 - 5 * \frac{5}{6} + 7 \). \( y = 3 * \frac{25}{36} - \frac{25}{6} + 7 = \frac{75}{36} - \frac{150}{36} + \frac{252}{36} = \frac{177}{36} = \frac{59}{12} \).
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (\frac{5}{6}, \frac{59}{12}) \).
Поскольку отрезок (-1;3] включает в себя значение x между -1 и 3, нам нужно проверить значения функции на концах этого отрезка и в найденной вершине, чтобы определить наибольшее значение.
Подставляем крайние точки отрезка:
- При x = -1: \( f(-1) = 3*(-1)^2 - 5*(-1) + 7 = 3 + 5 + 7 = 15 \).
- При x = 3: \( f(3) = 3*3^2 - 5*3 + 7 = 27 - 15 + 7 = 19 \).
- Найденная вершина: \( f(\frac{5}{6}) = \frac{59}{12} \).
Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) = 3x^2 - 5x + 7 \) на отрезке (-1;3] достигается в вершине параболы и равно \( \frac{59}{12} \).
