На доске написано 60 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

На доске может оказаться записано наименьшее количество различных чисел - 13. Это можно объяснить следующим образом: каждое целое число можно представить как произведение простых чисел. Каждый квадрат числа соответствует удвоенному количеству простых множителей в разложении числа, в то время как каждый куб числа добавляет еще один различный простой множитель к исходному разложению числа. Таким образом, минимальное количество различных чисел на доске достигается при записи 12 квадратов и 1 куба различных исходных чисел.