Решите уравнение

Хорошо, давай вместе разберемся с этим уравнением. У нас есть:

\[ \frac{3x+16}{x+3} + \frac{5x-22}{x-3} = 2 \]

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель для двух дробей будет \((x+3)(x-3)\), поскольку это разность квадратов. Умножаем числители и знаменатели на нужные выражения для получения общего знаменателя:

\[ \frac{(3x+16)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(5x-22)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 2 \]

Теперь раскроем скобки в числителях:

\[ \frac{3x^2 - 9x + 16x - 48}{(x+3)(x-3)} + \frac{5x^2 + 15x - 22x - 66}{(x+3)(x-3)} = 2 \]

\[ \frac{3x^2 + 7x - 48}{(x+3)(x-3)} + \frac{5x^2 - 7x - 66}{(x+3)(x-3)} = 2 \]

Теперь объединяем две дроби:

\[ \frac {3x^2 + 7x - 48 + 5x^2 - 7x - 66} {(x+3)(x-3)} = 2 \]

Сложим подобные члены в числителе:

\[ \frac{8x^2 - 114}{(x+3)(x-3)} = 2 \]

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на \((x+3)(x-3)\):

\[ 8x^2 - 114 = 2(x^2 - 9 + 9) \]

\[ 8x^2 - 114 = 2x^2 \]

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

\[ 8x^2 - 2x^2 = 114 \]

\[ 6x^2 = 114 \]

Теперь разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти \( x^2 \):

\[ x^2 = \frac{114}{6} \]

\[ x^2 = 19 \]

Осталось извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ x = \pm\sqrt{19} \]

Итак, уравнение имеет два решения: \( x = \sqrt{19} \) и \( x = -\sqrt{19} \). Надеюсь, мое объяснение помогло тебе разобраться!