Номер 1 и 2

Привет!

Давай посмотрим, какие задачи нам нужно решить. Текст и рисунок на доске касаются геометрии.

Задача номер 1:

Дано: ∠B в ΔABC = ∠B = 90° (треугольник ABC прямоугольный, угол B - прямой) MP - медиана <ABH = <CBH = 2:1

Надо найти: ∠ACB

Решение: Медиана MP делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠CBM. Как нам известно, отношение ∠ABH к ∠CBH равно 2:1, значит ∠ABH в два раза больше ∠CBH.

Поскольку это углы при основании равнобедренного треугольника ABM (где BM = MP), то [∠ABM] = [∠CBM] и каждый из них вдвое меньше ∠ABH. Таким образом, ∠ABH = 2∠ABM и ∠CBH = ∠ABM.

Учитывая, что в прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°, получим: ∠ABM + ∠ACB = 90°.

Вместе с этим ∠ABH = 2∠ABM, поэтому ∠ABH = 2(90° - ∠ACB).

Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°, имеем ∠ABH = 2∠ABM.

Обозначим ∠ACB как x. Тогда ∠ABM = 90° - x и ∠ABH = 180° - 2(90° - x) = 180° - 180° + 2x = 2x.

Раз угол ∠CBH в один раз меньше ∠ABH, следовательно он равен x. Так как ∠CBH является углом ACB в треугольнике ABC, то ∠ACB = x = ∠CBH.

Используя тот факт, что ∠ABH в 2 раза больше ∠CBH, имеем ∠ABH = 2x и ∠CBH = x, а поскольку сумма углов треугольника равна 180°:

x + 2x + 90° = 180° 3x = 180° - 90° 3x = 90° x = 90° / 3 x = 30°

Значит угол ∠ACB равен 30°.

Теперь задача номер 2.

Дано: Вписанная окружность касается AB в точке N Прямая MN перпендикулярна BC и пересекает AC в точке D.

Надо найти: ∠AOB

Решение: Для начала заметим, что точка N является точкой касания вписанной окружности со стороной AB треугольника ABC. MN - это радиус, перпендикулярный проведенный к хорде AB в треугольнике, значит N - середина AB из-за того, что радиус перпендикулярен к хорде в точке касания.

Известно, что ∠AOB это угол между радиусами окружности, которые проведены к точкам касания. Он равен величине дуги ANB (свойство центрального угла). Так как точка N делит сторону пополам, угол ∠AOB будет в два раза больше угла ∠B или ∠A (в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, углу в 90° напротив гипотенузы соответствует дуга окружности величиной 180°).

Поскольку угол ∠ACB мы нашли в предыдущей задаче и он равен 30°, то угол ∠AOB будет равен двум его величинам (так как угол ∠AOB - центральный) и будет равен 2 * 30° = 60°.

Таким образом, мы нашли, что ∠ACB = 30°, а ∠AOB = 60°.