Найти производную

Привет! Давай найдем производную функции \( y = x \cdot \arcsin(x) + \ln(\sqrt{1-x^2}) \).

Начнем с первого слагаемого, \( x \cdot \arcsin(x) \). Это произведение двух функций, поэтому для нахождения производной используем правило производной произведения: первая функция умножается на производную второй плюс вторая функция умножается на производную первой. Производная \( \arcsin(x) \) равна \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \), а производная \( x \) равна 1.

Для второго слагаемого, \( \ln(\sqrt{1-x^2}) \), применим правило производной сложной функции (цепного правила). Сначала находим производную внешней функции \( \ln(u) \), которая равна \( \frac{1}{u} \), затем умножим ее на производную внутренней функции \( \sqrt{1-x^2} \), которая равна \( \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) \) из правила производной корня и степенной функции.

Теперь найдем полную производную: Производная \( y = x \cdot \arcsin(x) \) равна \( \arcsin(x) + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \). Производная \( y = \ln(\sqrt{1-x^2}) \) равна \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{1-x^2} \).

Сложим эти две производные, чтобы получить производную всей функции: \( y' = \arcsin(x) + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{1-x^2} \).

Вот и все! Если есть вопросы по каждому шагу, смело спрашивай.