Решите

На фотографии изображено задание на решение дифференциального уравнения. Сначала нужно понять, какой тип уравнения перед нами и как его следует решать.

Давай пошагово разберем, как решить уравнение из пункта 2), так как оно полностью видно:

У нас есть уравнение (2) \( y'' + 4y = 0 \).

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение можно найти, предположив, что \(y = e^{rx}\), где \(r\) — это число, которое мы должны найти. Подставив это предположение в уравнение, мы получим характеристическое уравнение для \(r\).

Когда мы подставим предположение в уравнение, мы получим:

\(r^2e^{rx} + 4e^{rx} = 0\).

Факторизуем выражение, вынося \(e^{rx}\) за скобки и получим:

\(e^{rx} (r^2 + 4) = 0\).

Для того чтобы выражение было равно нулю, необходимо чтобы \(r^2 + 4 = 0\). Это даёт нам характеристическое уравнение:

\(r^2 + 4 = 0\).

Решим это уравнение:

\(r^2 = -4\).

Теперь найдём корни этого уравнения, они будут комплексными:

\(r = \pm 2i\), где \(i\) — это мнимая единица, \(i^2 = -1\).

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения будет:

\(y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\),

где \(C_1\) и \(C_2\) — это константы, которые определяются из начальных условий, если таковые имеются. В данном случае в условии нет начальных данных, поэтому решение таково.

Надеюсь, это поможет тебе разобраться с решением этого уравнения. Если нужно решить какой-то другой пункт или уточнить какие-то моменты, дай знать!