Найти f'(x)по определению

Привет! Давай найдем производную функции f(x) по определению.

Для этого используем определение предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

f'(x) = lim (Δx -> 0) [(f(x + Δx) - f(x))/Δx]

Имеем функцию f(x) = (x - 1)^2 + 8x^3. Теперь найдем f(x + Δx):

f(x + Δx) = [(x + Δx - 1)^2 + 8(x + Δx)^3]

Распишем отдельно каждый элемент:

(x + Δx - 1)^2 = x^2 + 2xΔx - 2Δx + Δx^2

и

8(x + Δx)^3 = 8(x^3 + 3x^2Δx + 3xΔx^2 + Δx^3)

Теперь составим выражение для (f(x + Δx) - f(x))/Δx, подставив вышеуказанные раскрытые скобки и вычтя f(x):

[(x^2 + 2xΔx - 2Δx + Δx^2 + 8x^3 + 24x^2Δx + 24xΔx^2 + 8Δx^3) - ((x - 1)^2 + 8x^3)] / Δx

= [(x^2 + 2xΔx - 2Δx + Δx^2 + 8x^3 + 24x^2Δx + 24xΔx^2 + 8Δx^3) - (x^2 - 2x + 1 + 8x^3)] / Δx

Сократим подобные члены и сделаем упрощение:

(2xΔx - 2Δx + Δx^2 + 24x^2Δx + 24xΔx^2 + 8Δx^3 + 2x - 1) / Δx

= (2x + 24x^2 + 24xΔx + 8Δx^2 - 2 + Δx) + (2x - 1) / Δx

Теперь разделим каждый член на Δx и устремим Δx к нулю:

lim (Δx -> 0) [2x + 24x^2 + 24xΔx/Δx + 8Δx^2/Δx - 2/Δx + 1/Δx + (2x - 1)/Δx]

Устремляя Δx к нулю, получим:

f'(x) = 2x + 24x^2 + 24x0 + 80 - 20 + 10 + 0

= 2x + 24x^2

Это и есть производная нашей функции f(x) по определению. Удачи с математикой!