Вычисли при помощи правила лопиталя

Понятно, нужно найти предел функции, используя правило Лопиталя. Этот принцип используют, когда в пределе функция стремится к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞. В нашем случае, если подставить x = 0, мы увидим, что и числитель, и знаменатель стремятся к 0, что и является неопределенностью вида 0/0.

Чтобы применить правило Лопиталя, нужно взять производные числителя и знаменателя функции отдельно:

Производная числителя по x: (3 - cos(3x)·3), где 3 это производная от 3x, а -cos(3x)·3 это производная от -sin(3x).

Производная знаменателя по x: (e^{2x}·2 + 2 - e^{x}·2), где e^{2x}·2 это производная от e^{2x}, 2 это производная от 2x, и -e^{x}·2 это производная от -2x^2.

Теперь можно подставить x = 0 в полученные производные:

Числитель: 3 - cos(3·0)·3 = 3 - 1·3 = 3 - 3 = 0

Знаменатель: e^{2·0}·2 + 2 - e^{0}·2 = 1·2 + 2 - 1·2 = 2 + 2 - 2 = 2

Так как производная в числителе равна 0, а в знаменателе 2, то и предел данной функции, чему равен их отношение при x, стремящемся к 0, тоже будет равен 0/2, что, в свою очередь, равно 0.

Таким образом, предел функции равен 0.