Вычислить f'(X) по определению, если f(X)=(x-1)^2+3x^3

Конечно, для того чтобы вычислить производную функции \( f(x) = (x-1)^2 + 3x^3 \) по определению, мы воспользуемся определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Шаг 1: Найдем \( f(x + \Delta x) \): \[ f(x + \Delta x) = ((x + \Delta x) - 1)^2 + 3(x + \Delta x)^3 \] \[ f(x + \Delta x) = (x + \Delta x - 1)^2 + 3(x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) \]

Шаг 2: Рассчитаем \( f(x + \Delta x) - f(x) \): \[ f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x - 1)^2 + 3(x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - ((x-1)^2 + 3x^3) \]

Шаг 3: Распишем наше уравнение и найдем производную: \[ f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} \]

После всех вычислений и упрощений мы получаем \( f'(x) = 2(x - 1) + 9x^2 \).