Найти f'(X) без упрощений

Привет! Давай посмотрим, какую задачку тебе нужно решить.

Ты просишь найти производную функции \( f(x) \) без упрощений. Функция задана как сумма двух слагаемых: \( \frac{e^{\cos{\sqrt{x}}}}{\arcsin{2x}} \) и \( \ln(\ln{x}) \). Чтобы найти производную \( f'(x) \), нужно по отдельности дифференцировать каждое слагаемое.

Первое слагаемое – это дробь. Для его дифференцирования воспользуемся правилом производной частного: \( (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 \), где \( u = e^{\cos{\sqrt{x}}} \), а \( v = \arcsin{2x} \).

Производная \( u \) по \( x \) будет \( u' = e^{\cos{\sqrt{x}}} \cdot (-\sin{\sqrt{x}}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \), поскольку использовано правило дифференцирования сложной функции и цепное правило.

Производная \( v \) по \( x \) будет \( v' = \frac{d}{dx} \arcsin{2x} = \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} \).

Теперь можем записать производную первого слагаемого как \( \left( e^{\cos{\sqrt{x}}} \cdot (-\sin{\sqrt{x}}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \arcsin{2x} - e^{\cos{\sqrt{x}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} \right) / (\arcsin{2x})^2 \).

Второе слагаемое \( \ln(\ln{x}) \) проще. Производная ln(x) равна 1/x, значит, применяем цепное правило:

Производная \( \ln(\ln{x}) \) по \( x \) будет \( (\ln(\ln{x}))' = \frac{1}{\ln{x}} \cdot \frac{1}{x} \).

Теперь сложим полученные производные слагаемых, и у нас будет \( f'(x) \):

\( f'(x) = \left( e^{\cos{\sqrt{x}}} \cdot (-\sin{\sqrt{x}}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cdot \arcsin{2x} - e^{\cos{\sqrt{x}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} \right) / (\arcsin{2x})^2 + \frac{1}{\ln{x}} \cdot \frac{1}{x} \).

Вот и все! Производная найдена без упрощений, как ты и просил. Если возникнут вопросы по решению, пиши, помогу разобраться!