8. У рівнобедрений трикутник з основою 12 вписано коло, до якого проведено три дотичних так, що вони відтинають від даного трикутника три малих трикутники. Сума периметрів малих трикутників дорівнює 48. Знайдіть бічну сторону даного трикутника.

Для вирішення цієї задачі відзначимо, що коло, вписане у рівнобедрений трикутник, дотикається до сторін цього трикутника у точках дотику. Оскільки це рівнобедрений трикутник, ці відрізки рівні і утворюють рівні прямокутні трикутники.

Нехай дотичні ділять бічні сторони рівнобедреного трикутника на рівні частини, і кожен з отриманих малих трикутників має периметр, який дорівнює х. Тоді сума периметрів цих трьох малих трикутників становить 3х, і за умовою цей вираз дорівнює 48. Отже, 3х = 48, звідки можна знайти значення х.

Після знаходження значення х, можна знайти бічну сторону рівнобедреного трикутника, скориставшись відомим фактом, що кожна з малих сторін має довжину х, а великі сторони поділені так само, як і бічні відрізки, і їх довжини можна виразити через х.