Завдання: Уявіть, що ви плануєте виготовлення медалі для переможця спортивних змагань у формі трикутника. Довжина сторін трикутника складає 12 см, 15 см та 18 см. Знайдіть радіус вписаного кола у цей трикутник.

Для того чтобы найти радиус вписанного круга в трикутник, можем скористатися формулою радіуса вписаного кола: \[ r = \frac{S}{p}, \] де \( S \) - площа трикутника, \( p \) - півпериметр трикутника. Півпериметр рахуємо за допомогою формули: \[ p = \frac{a + b + c}{2}, \] де \( a, b, c \) - довжини сторін трикутника.

Спочатку знайдемо площу трикутника за формулою Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}. \]

Підставляємо дані: \( a = 12 \) см, \( b = 15 \) см, \( c = 18 \) см. Рахуємо півпериметр: \[ p = \frac{12 + 15 + 18}{2} = 22,5 \, \text{см}. \]

Проводимо обчислення площі трикутника: \[ S = \sqrt{22.5 \cdot (22.5 - 12) \cdot (22.5 - 15) \cdot (22.5 - 18)} = \sqrt{22.5 \cdot 10.5 \cdot 7.5 \cdot 4.5} = \sqrt{22387.5} \approx 150 см^2. \]

Наостанок знаходимо радіус вписаного кола: \[ r = \frac{150}{22.5} = 6\frac{2}{3} \, \text{см}. \]

Отже, радіус вписаного кола у цей трикутник дорівнює 6\(\frac{2}{3}\) см.