Решение

На картинке изображён треугольник \( ABC \), вписанный в окружность, и проведены касательные к окружности \( BD \) и \( DE \), касающиеся окружности в точках \( A \) и \( C \) соответственно. Нам дана длина стороны \( AB \), равная 34,5 см, и нужно найти периметр треугольника \( ACE \).

Для начала нужно понять, что длины отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Это значит, что \( AD = AE \) и \( BC = CE \). Кроме того, по условию у нас есть равнобедренный треугольник \( ABE \) с углом при вершине \( B \) равным 60°, который является равносторонним, так как углы при основании в равностороннем треугольнике тоже равны 60°. Значит, \( AB = AE = BE \). Так как \( AB \) у нас равен 34,5 см, мы получаем, что \( AE = 34,5 \) см и \( BE = 34,5 \) см.

Теперь мы можем найти периметр \( P_{ACE} \) треугольника \( ACE \) как сумму сторон \( AC + CE + AE \). У нас есть всё, чтобы найти \( CE \) и \( AE \), но мы пока не знаем длину \( AC \). Однако у нас есть \( BE \), и так как \( ABC \) - равносторонний треугольник, то \( AC = BE = 34,5 \) см.

Таким образом, мы можем найти периметр \( P_{ACE} \): \[ P_{ACE} = AC + CE + AE = AC + BC + AE = BE + BE + AE = 34,5 + 34,5 + 34,5 = 103,5 \] см.

Итак, периметр треугольника \( ACE \) равен 103,5 см.