Реши способом двойное неравенство

Давай вместе посмотрим на это двойное неравенство и попробуем его решить.

Для начала рассмотрим первое неравенство \(0 < x^2 - 6x\), которое мы можем преобразовать в \(x^2 - 6x > 0\). Затем решим неравенство \(x^2 - 6x \leq 7\), приравняв его к нулю и решив уравнение \(x^2 - 6x - 7 = 0\).

Решаем первое неравенство путём факторизации: \(x(x - 6) > 0\)

Корни этого уравнения будут \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 6\). На числовой прямой отметим эти точки и определим знаки на получившихся интервалах. По полученным данным видим, что неравенство будет верно при \(x \in (0; 6)\).

Теперь решим второе неравенство \(x^2 - 6x - 7 \leq 0\). Разложим квадратный трёхчлен на множители, решим уравнение \(x^2 - 6x - 7 = 0\).

Дискриминант этого квадратного уравнения: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\)

Корень дискриминанта: \(\sqrt{D} = 8\)

Корни уравнения: \(x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7\).

Теперь на числовой прямой отметим точки -1 и 7, и определим знаки на интервалах. Получается, что уравнение верно при \(x \in [-1; 7]\).

Итак, общее решение двойного неравенства будет на пересечении интервалов, которые мы нашли в каждом неравенстве. То есть, \(x \in (0; 6)\) и \(x \in [-1; 7]\) дает нам итоговый ответ \(x \in (0; 6)\).

Не забудь проверить результат на черновике, чтобы убедиться, что всё посчитано верно!

Теперь твоя очередь попробовать решить второе неравенство по аналогии. Если возникнут трудности, я здесь, чтобы помочь. Удачи!