Решить

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Условие говорит о монополистической фирме, которая достигла долгосрочного равновесия. Функция спроса на продукцию фирмы задана как \( q = 60 - p \), а функция общих издержек \( TC = 4q^2 + 10q \). Нам нужно определить объем выпуска и цену для данной фирмы.

Как монополист, фирма максимизирует свою прибыль, где прибыль равна разности выручки и общих издержек. Выручка \( R \) определяется как цена \( p \) умноженная на количество проданных товаров \( q \), то есть \( R = pq \).

Для начала найдем функцию дохода. Поскольку \( q = 60 - p \), мы можем выразить \( p \) через \( q \), получив \( p = 60 - q \). Тогда функция дохода будет \( R = (60 - q)q = 60q - q^2 \).

Маржинальные издержки (MC) равны производной функции общих издержек по \( q \), а маржинальный доход (MR) - производной функции дохода по \( q \). Приравнивая MR и MC, найдем оптимальный уровень выпуска.

\( MC = d(TC)/dq = d(4q^2 + 10q)/dq = 8q + 10 \) \( MR = d(R)/dq = d(60q - q^2)/dq = 60 - 2q \)

Приравниваем \( MR \) к \( MC \) для нахождения оптимального выпуска: \( 60 - 2q = 8q + 10 \) \( 60 - 10 = 2q + 8q \) \( 50 = 10q \) \( q = 5 \)

Теперь найдем цену, подставив найденный объем выпуска в функцию спроса: \( p = 60 - q = 60 - 5 = 55 \)

Итак, объем выпуска составляет 5 единиц, а цена установлена на уровне 55.