Реши задачи

Давай решим эти задачки вместе!

1. Чтобы составить двузначное число, нам нужно выбрать две цифры: одну для десятков и одну для единиц. А) Цифры не повторяются: для первой позиции (десятки) у нас есть 9 вариантов (все кроме 0), для второй позиции (единицы) - 8 вариантов (все кроме выбранной для десятков и 0), так что всего 9 * 8 = 72 числа. Б) Цифры могут повторяться: для первой позиции (десятки) у нас все те же 9 вариантов, но теперь для второй позиции (единицы) - 9 вариантов (так как цифры могут повторяться), поэтому всего 9 * 9 = 81 число.

2. Для создания расписания у нас есть 10 учителей на 14 уроков. Учителя дежурят по 2 раза, а значит, можно составить расписание 14!/(2^10) способами. Это связано с тем, что у нас есть повторения (десять пар уроков, на которых дежурят одни и те же учителя) и порядок в паре не важен, поэтому их нужно "разделить" на 2^10.

3. Имеем 10 красных и 8 розовых гвоздик, способы выбрать их следующие: А) Все 4 гвоздики: \(C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18*17*16*15}{4*3*2*1} = 3060\) способа. Б) Гвоздики одного цвета: \(С_{10}^4 + С_{8}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} + \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{10*9*8*7}{4*3*2*1} + \frac{8*7*6*5}{4*3*2*1} = 210 + 70 = 280\) способов. В) 5 красных и 4 розовых гвоздика: \(C_{10}^5 * C_{8}^4 = \frac{10!}{5!(10-5)!} * \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{10*9*8*7*6}{5*4*3*2*1} * \frac{8*7*6*5}{4*3*2*1} = 252 * 70 = 17640\) способов.

4. Способы выбрать 4 человек из группы 11 юношей и 6 девушек: А) Один девушек: \(C_{6}^1 * C_{11}^3 = 6 * \frac{11*10*9}{3*2*1} = 6 * 165 = 990\) способа. Б) 1 юноша и 3 девушки: \(С_{11}^1 * С_{6}^3 = 11 * \frac{6*5*4}{3*2*1} = 11 * 20 = 220\) способов. В) 2 юноши и 2 девушки: \(С_{11}^2 * С_{6}^2 = \frac{11*10}{2*1} * \frac{6*5}{2*1} = 55 * 15 = 825\) способов.

5. Имеем 150 лотерейных билетов, из них 50 с выигрышем. Способы выбрать 8 билетов, чтобы 3 из них были с выигрышем: \(C_{50}^3 * C_{100}^5 = \frac{50!}{3!(50-3)!} * \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{50*49*48}{3*2*1} * \frac{100*99*98*97*96}{5*4*3*2*1}\), расчитаем: \(50*49*48/6 = 19600\), \(100*99*98*97*96/(5*4*3*2*1) = 75287520\), \(19600*75287520 = 1475656320000\) способов.

6. Автомобильные номера состоят из 3 букв и 4 цифр, где есть 27 букв и буквы с цифры не могут повторяться. Способы составить номер: \(С_{27}^3 * C_{10}^4 = \frac{27!}{3!(27-3)!} * \frac{10!}{4!(10-4)!}\), расчитаем: \(27*26*25/6 = 2925\), \(10*9*8*7/24 = 210\), \(2925*210 = 614250\) способов.

Надеюсь, это поможет тебе с задачками, если что-то непонятно - спрашивай!