Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?
Да, такое возможно.
Если уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, это означает, что функция f(x) имеет 3 кратных корня. Таким образом, f(x) = (x-a)^3, где a - значение корня.
Аналогично, если уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет 7 различных корней, это означает, что функция f(x) имеет 7 кратных корней. То есть, f(x) = (x-b)^7, где b - значение корня.
Так как f(x) - квадратный трехчлен, то его общий вид f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c - некоторые числа. Подставив значения (x-a)^3 и (x-b)^7 для f(x), получим:
(ax^2 + bx + c)^3 = 0
и
(ax^2 + bx + c)^7 = 0
Возведение в степень не влияет на количество корней, поэтому уравнения f(f(x)) = 0 и f(f(f(x))) = 0 будут иметь такое же количество корней, которое мы подставили в исходные функции.
Таким образом, если f(x) имеет 2 различных корня, то уравнение f(f(x)) = 0 будет иметь 2^3 = 8 корней, а уравнение f(f(f(x))) = 0 будет иметь 2^7 = 128 корней.
