Выбери верный ответ

Привет! Давай попробуем вместе разобраться с задачей.

Нам нужно определить количество действительных корней уравнения \( x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \). Для определения количества действительных корней давай посмотрим на поведение функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \). Если мы построим график этой функции, то сможем наблюдать, как функция пересекает ось \( x \), что и даст нам количество корней.

У кубической функции может быть либо один корень, либо три. Чтобы определить их количество, можно воспользоваться теоремой Больцано-Коши: если функция непрерывна на отрезке [a; b] и значения функции на концах отрезка разных знаков, т.е. \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), то на этом отрезке есть корень.

Но в данном случае проще искать экстремумы функции, для чего находим производную \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). Приравниваем ее к нулю, чтобы найти стационарные точки: \( 3x(x - 2) = 0 \). Получаем две стационарные точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Это значит, что функция имеет экстремумы в этих точках, и график функции меняет направление.

Проверяем знаки производной до и после стационарных точек. Если знак производной меняется с "+" на "-", значит это локальный максимум, а если с "-" на "+", то минимум. Смотрим на значения \( f(0) \) и \( f(2) \):

\( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1 \) и \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = -1 \).

Мы видим, что \( f(2) < 0 \), а \( f(0) > 0 \), это говорит о том, что функция пересекает ось \( x \) минимум в двух точках. Так как это кубическая функция, она еще и бесконечно возрастает и убывает на бесконечности, значит будет еще один перегиб через ось \( x \). Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Итак, правильный ответ - это 3, выбираем "г" (вариант d).