Пример
Хорошо, давай посмотрим на задачу. Мы видим выражение, которое нужно упростить:
\[ \frac{a^2 - 64}{2a^2 + 1} \cdot \left( \frac{16a + 1}{a - 8} + \frac{16a - 1}{a + 8} \right) \]
Для начала упростим каждую часть выражения по отдельности.
Разложим числитель первой дроби на множители, это разность квадратов: \[ a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8) \]
Затем посмотрим на скобки: \[ \frac{16a + 1}{a - 8} + \frac{16a - 1}{a + 8} \]
Чтобы сложить эти две дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (a - 8)(a + 8). Далее умножим числитель и знаменатель первой дроби на (a + 8), а второй дроби на (a - 8), чтобы получить общий знаменатель.
Теперь сложим числители дробей: \[ (16a + 1)(a + 8) + (16a - 1)(a - 8) \]
- Раскроем скобки и сложим полученные выражения: \[ 16a^2 + 8a + 16a + 8 + 16a^2 - 8a - 16a + 8 \] \[ = 16a^2 + 16a^2 + 8 + 8 \] \[ = 32a^2 + 16 \]
Когда мы поделим 32a^2 + 16 на 2a^2 + 1, члены 32a^2 разделится на 2a^2, а 16 на 1. Теперь можем упростить выражение:
\[ \frac{(a - 8)(a + 8)}{2a^2 + 1} \cdot \left( \frac{32a^2 + 16}{(a - 8)(a + 8)} \right) \]
Видишь, мы получили одинаковые множители в числителе и знаменателе, которые можно сократить:
\[ \frac{\cancel{(a - 8)(a + 8)}}{2a^2 + 1} \cdot \left( \frac{32a^2 + 16}{\cancel{(a - 8)(a + 8)}} \right) \]
Теперь упростим итоговое выражение:
\[ \frac{32a^2 + 16}{2a^2 + 1} \]
Разделим числитель и знаменатель на 16, чтобы еще больше упростить выражение:
\[ \frac{2a^2 + 1}{2a^2 + 1} = 1 \]
Таким образом, итоговый ответ упрощенного выражения:
\[ Ответ: 1 \]
