Реши пропорции

На фото видны задачи по нахождению производной функции. Давай рассмотрим одну из них, например, вариант б) под номером 3.41:

\[ y = \frac{x^3 - 2}{x^2} \]

Чтобы найти производную этой функции, давай применим правило дифференцирования частного:

Если \( y = \frac{u}{v} \), где \( u \) и \( v \) – дифференцируемые функции от \( x \), то производная \( y \) будет вычисляться по формуле:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Пусть \( u = x^3 - 2 \) и \( v = x^2 \), тогда нам нужно найти производные \( u' \) и \( v' \).

Для \( u = x^3 - 2 \) производная будет \( u' = 3x^2 \), так как производная от константы равна 0.

Для \( v = x^2 \) производная будет \( v' = 2x \).

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{3x^2 \cdot x^2 - (x^3 - 2) \cdot 2x}{(x^2)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ y' = \frac{3x^4 - 2x^2(x^3 - 2)}{x^4} \]

Умножим \( 2x^2 \) на \( x^3 \) и на \( -2 \):

\[ y' = \frac{3x^4 - 2x^5 + 4x^2}{x^4} \]

Теперь приведем подобные слагаемые и упростим выражение:

\[ y' = \frac{-2x^5 + 3x^4 + 4x^2}{x^4} = -2x + 3 + \frac{4}{x^2} \]

Это и будет производная функции \( y = \frac{x^3 - 2}{x^2} \).