Решите уравнение $$\mathrm{sin}2x+\mathrm{cos}2x+\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+1=0$$.

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразуем его.

Известно, что: $$\sin2x = 2\sin x\cos x$$ $$\cos2x = 2\cos^2x-1$$

Заменим $\sin2x$ и $\cos2x$ в уравнении: $$2\sin x\cos x + 2\cos^2x - 1 + \sin x + \cos x + 1 = 0$$

Упростим уравнение: $$2\sin x\cos x + 2\cos^2x + \sin x + \cos x = 0$$ $$2\sin x\cos x + 2\cos x(\cos x + \sin x) = 0$$ $$2\cos x (\sin x + \cos x) = 0$$

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. Пусть $\cos x = 0$. Тогда из уравнения $\sin x + \cos x = 0$ получаем $\sin x = 0$. Таким образом, имеем решение $\cos x = 0$ и $\sin x = 0$.

2. Пусть $\sin x + \cos x = 0$. Заменяем $\cos x = -\sin x$, подставляем в уравнение и получаем $-2\sin^2 x = 0$, что дает $\sin x = 0$. Поэтому, $\cos x = 0$.

Таким образом, решения уравнения $\sin2x+\cos2x+\sin x+\cos x+1=0$ - это $x = \frac{\pi}{2}+2\pi n$, $x = \frac{3\pi}{2}+2\pi n$, где $n$ - целое число.