Решите уравнение $$5{\mathrm{sin}}^{2}x+3{\mathrm{cos}}^{2}x=4\mathrm{sin}2x$$.

Давайте решим данное уравнение:

\[5\sin^2 x + 3\cos^2 x = 4\sin 2x.\]

Мы можем воспользоваться формулами двойного угла для синуса и косинуса:

1. \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\).

2. \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).

Подставим эти формулы в исходное уравнение:

\[5\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 4(2\sin x \cos x).\]

Раскроем скобки:

\[5\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x = 8\sin x \cos x.\]

Сгруппируем похожие члены:

\[2\sin^2 x = 8\sin x \cos x.\]

Поделим обе стороны на \(2\sin x\) (если \(\sin x \neq 0\)):

\[\sin x = 4\cos x.\]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\sin x = \cos(90°-x)\):

\[\sin x = \cos(90° - x).\]

Это значит, что \(\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\).

Таким образом, у нас получается уравнение \(\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\), которое можно решить, используя свойства тригонометрии.