Решить

Давай вместе разберемся с неравенством под номером \(36.27\) б):

\[ (12n - 1)(3n + 1) < 1 + (6n + 2)^2; \]

Для решения данного неравенства первым делом упростим его, раскроем скобки и приведем подобные члены. Левая часть после умножения дает нам:

\[ 12n \cdot 3n + 12n - 3n - 1 = 36n^2 + 9n - 1; \]

Теперь раскроем скобки в правой части:

\[ 1 + (6n + 2)(6n + 2) = 1 + 36n^2 + 12n + 4 = 36n^2 + 12n + 5; \]

Тогда исходное неравенство примет вид:

\[ 36n^2 + 9n - 1 < 36n^2 + 12n + 5; \]

Теперь вычтем из обеих частей \(36n^2\) и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить:

\[ 9n - 1 - 12n - 5 < 0; \]

\[ -3n - 6 < 0; \]

Теперь разделим обе части неравенства на \(-3\), помня, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

\[ n + 2 > 0; \]

Отсюда получаем:

\[ n > -2; \]

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал \( n > -2 \).