Задание 5

Хорошо, давай попробуем решить задание 5 вместе. Нам нужно доказать, что выражение \(-y^2 + 2y - 5\) принимает отрицательные значения при любых значениях \(y\).

Для начала нам нужно понять, будет ли данное квадратичное выражение иметь максимум или минимум. Так как коэффициент при \(y^2\) отрицательный (\(-1\)), парабола будет ветвями вниз, и значит, вершина этой параболы будет точкой максимума.

Теперь найдем вершину параболы. Формула для координат вершины \(y = -\frac{b}{2a}\) при \(a = -1\) и \(b = 2\). Подставляем и получаем:

\(y = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1\)

То есть у нас есть координата \(y\) вершины параболы. Теперь подставим это значение обратно в выражение, чтобы найти максимальное значение:

\(-1^2 + 2 \cdot 1 - 5 = -1 + 2 - 5 = 1 - 5 = -4\)

Таким образом, максимальное значение функции равно \(-4\) и оно соответствует высоте ветви параболы в ее вершине. Поскольку это максимум и он отрицательный, а ветви параболы направлены вниз, все остальные значения функции при любых других \(y\) тоже будут отрицательными.

Значит, мы доказали, что при любых значениях \(y\) выражение \(-y^2 + 2y - 5\) принимает отрицательные значения.