В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость α перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину. а)  Докажите, что плоскость α и шар не имеют общих точек. б)  Найдите расстояние от центра шара до плоскости α.

В данной геометрической задаче мы имеем правильную треугольную пирамиду, в которую вписан шар. Плоскость α перпендикулярна высоте пирамиды, проходит через её середину и центр шара.

а) Чтобы доказать, что плоскость α и шар не имеют общих точек, рассмотрим следующее: плоскость α и шар, вписанный в пирамиду, имеют общий центр внутри пирамиды. Так как плоскость α проходит через центр шара, она будет касаться его внешне. Поэтому эти два геометрических объекта не пересекаются и не имеют общих точек.

б) Для нахождения расстояния от центра шара до плоскости α воспользуемся тем, что центр шара, центр основания пирамиды и середина высоты образуют прямоугольный треугольник. Рассмотрим проекцию радиуса шара на плоскость основания пирамиды. Эта проекция будет равна радиусу шара. Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости α равно половине высоты пирамиды.

Таким образом, мы доказали, что плоскость α и шар не имеют общих точек, и нашли расстояние от центра шара до плоскости α, которое равно половине высоты пирамиды.