.

Привет! Давай вместе разберемся с этими тригонометрическими выражениями. Она на задаче 9, которая гласит: "Найдите значение выражения: \(1 - 6 \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos^2 \left( \frac{\pi}{12} \right)\)."

Для начала надо помнить тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Из этого следует, что \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) и \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).

Теперь мы можем выразить \(\sin^2 x\) или \(\cos^2 x\) через друг друга, чтобы упростить выражение. Давай попробуем подставить \( \cos^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 1 - \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) \) в наше выражение.

\(1 - 6 \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot [1 - \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right)] \)

Теперь раскроем квадратный скобки и упростим дальше.

\(1 - 6 \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) + 6 \sin^4 \left( \frac{\pi}{12} \right) \)

Это выражение уже гораздо проще. И если ты знаешь значение \(\sin \left( \frac{\pi}{12} \right)\), можно подставить и посчитать, но поскольку \(\frac{\pi}{12}\) это не из тех углов, значение синуса которых мы знаем наизусть, нам нужно решить это иначе.

Чтобы найти \(\sin \left( \frac{\pi}{12} \right)\), можно использовать формулы приведения или представить \(\frac{\pi}{12}\) как \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\), где значения синусов и косинусов обоих углов известны и применить формулу для синуса разности:

\(\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right)\)

\(\sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right)\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)\sin \left( \frac{\pi}{4} \right)\)

Теперь используем известные значения:

\(\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}\), \(\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем и получаем:

\(\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Дальше мы подставляем значение синуса в наше упрощенное выражение и находим его значение. Но без калькулятора это может быть довольно сложной задачей, так как потребуется работать с корнями. Ты хотел бы продолжить и решить это вручную или использовать калькулятор?