2196 задание решить

Привет! Давай посмотрим на задачу номер 2196 по твоему учебнику.

Задание 2196: \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}\).

Для решения этого интеграла предлагаю заменить \( x = \cosh(t) \), так как это поможет упростить подкоренное выражение \(x^2 - 1\), которое станет \(\cosh^2(t) - 1 = \sinh^2(t)\), благодаря основным гиперболическим тождествам. Также вспомним, что \(dx = \sinh(t) dt\). Подставим это все в интеграл:

\[ \int \frac{\sinh(t) dt}{\cosh(t)\sqrt{\sinh^2(t)}} = \int \frac{\sinh(t) dt}{\cosh(t)\sinh(t)} = \int \frac{dt}{\cosh(t)} \]

Теперь введем еще одну замену: \( \cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \), и тогда наш интеграл примет вид:

\[ \int \frac{2 dt}{e^t + e^{-t}} \]

Теперь, если углубляться в вычисления, нам нужно будет разделить числитель и знаменатель на \(e^t\), чтобы упростить интеграл:

\[ \int \frac{2 e^{-t} dt}{1 + e^{-2t}} \]

Дальнейшие шаги будут включать в себя следующее:

1. Используй подстановку \( u = e^{-t} \), откуда \(du = -e^{-t} dt \).
2. Подставь \( u \) в интеграл, учитывая изменение переменных.
3. Реши получившийся интеграл по \( u \).
4. Вернись к переменной \( t \), используя обратную подстановку \( t = \cosh^{-1}(x) \) или \( t = \operatorname{arcosh}(x) \).
5. В итоге ты найдешь первообразную для исходного интеграла в терминах x.

Если возникнут трудности на каком-то из этих шагов, смело обращайся, и я помогу разобраться!