Реши задачи

Хорошо, давай по порядку разберем каждую задачу:

1. Задача о том, чтобы найти градусную меру центрального угла \( \angle MON \), при условии что \( NP \) - диаметр, и \( \angle MNP = 18^\circ \). Поскольку \( NP \) - диаметр, то угол \( \angle MNP \) будет прямым (как угол в полукруге), и его мера 90 градусов. Однако известно, что \( \angle MNP = 18^\circ \), так что нам нужно вычесть его из 90, чтобы найти угол \( \angle MNO \):

\( \angle MNO = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \).

Поскольку угол \( \angle MNO \) является половиной угла \( \angle MON \), градусная мера угла \( \angle MON \) в два раза больше:

\( \angle MON = 2 \cdot \angle MNO = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \).

2. Задача о нахождении угла \( \angle DEF \), если известно, что градусные меры дуг \( DE \) и \( EF \) равны 150° и 68° соответственно. Угол \( \angle DEF \), опирающийся на дугу \( DF \), равен полусумме градусных мер дуг \( DE \) и \( EF \):

\( \angle DEF = \frac{150^\circ + 68^\circ}{2} = \frac{218^\circ}{2} = 109^\circ \).

3. Задача о вычислении угла \( \angle ACB \), если известно, что \( BC \) является диаметром окружности, и угол \( \angle AOC \) равен \( 96^\circ \). Угол \( \angle ACB \) - вписанный, он равен половине центрального угла \( \angle AOC \), который опирается на ту же дугу:

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 96^\circ = 48^\circ \).

4. Задача о радиусе окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Радиус вписанной окружности формулу \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где a и b - катеты, c - гипотенуза. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: \( c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.

Теперь найдем радиус: \( r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см.

5. Задача о радиусе окружности, касающейся сторон угла 70° в точках A и B. Пусть \( O \) - центр окружности, \( OA = OB = r \) - радиусы. Тогда треугольник \( OAB \) равнобедренный, и угол \( \angle AOB \) равен 70° (по условию задачи). Так как сумма углов треугольника равна 180°, следовательно углы \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \) будут равны:

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \).

Нам нужно найти радиус окружности. Для этого понадобится дополнительная информация (например, длина отрезков \( AC \) и \( CB \), или отношения длин этих отрезков к радиусу), которой нет в задаче.