Решить неравенство

Привет! Давай разбираться с задачей по неравенствам.

У нас есть четыре неравенства:

А) (x-1)/(x-4) > 0 Б) (x-4)/(x-1) > 0 В) (x-1)²/(x-4) < 0 Г) (x-1)/(x-4) < 0

Нужно определить интервалы x, для которых каждое неравенство верно.

Для каждого неравенства сначала найдем критические точки, то есть значения, которые зануляют числитель или знаменатель. Тогда:

Для А и Г критические точки x=1 и x=4. Для Б такие же критические точки. В неравенство В квадрат всегда неотрицателен, следовательно критическая точка - только x=4.

Теперь разберем каждое неравенство:

А) Здесь знаменатель и числитель меняют знаки в точках 1 и 4. Так как мы имеем дело с дробью больше нуля, нас интересуют интервалы, где числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Следовательно, интервалы будут или от -∞ до 1 (не включая 1 и 4), или от 4 до +∞. Нужно проверить значения на этих интервалах, и правильный ответ будет соответствовать интервалу 1 < x < 4.

Б) Работаем аналогично А, но поскольку порядок x-4 и x-1 меняется, интервалы знакопостоянства тоже поменяются. Проверив значения, получим интервал x < 1 или x > 4.

В) Здесь числитель всегда положительный (кроме x=1), нужно смотреть, когда знаменатель отрицательный, так как дробь меньше нуля. Отсюда интервал 1 < x < 4.

Г) Для этого неравенства действуем как для А и Б. Дробь отрицательная, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это происходит между критическими точками, то есть когда 1 < x < 4.

Теперь установим соответствие с предложенными решениями:

А) 1) 1 < x < 4 Б) 2) x < 1 или x > 4 В) 3) 1 < x < 4 Г) 3) 1 < x < 4

Таким образом, ответ: А1 Б2 В3 Г3.