Решить

Привет! Давай разберемся с этим примером шаг за шагом.

Нам нужно решить неравенство:

\[ \frac{(x - 4)^2}{x - 1} > 0 \]

Шаг 1: Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, значит \( x \neq 1 \).

Шаг 2: Так как квадрат любого числа неотрицателен, выражение \((x - 4)^2\) всегда больше или равно нулю, но когда оно равно нулю, числитель становится нулевым, а неравенство требует строго больше нуля.

Шаг 3: Теперь рассмотрим знаменатель. Он положителен, когда \(x > 1\), и отрицателен, когда \(x < 1\).

Шаг 4: Так как числитель всегда положителен кроме точки \(x = 4\), то знак дроби определяется знаменателем.

Мы можем составить таблицу знаков:

x     | -∞    ..   1 ..    4    .. +∞
(x-4)^2 |   +    ..   + ..    0    ..  +
-----------------------------------
x - 1  |   -    ..   0 ..    +    ..  +
-----------------------------------
y     |   -    ..  не сущ. ..    +    ..  +

Шаг 5: Нас интересуют интервалы, где дробь положительна (\(y > 0\)), так что ответом будут два интервала: \(x < 1\) и \(x > 4\), не включая точку \(x = 1\), так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, решением неравенства будет:

\[ x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \]

Вот так и решается такое неравенство!