Найти точки максимума и минимума

Хорошо, давай разберём эту задачу. Тебе нужно найти точки экстремума функции \( y = 0.5x^2 - 6x + 2 \ln x^4 \).

Чтобы найти точки экстремума, нам нужно сначала найти производную функции, а затем приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки.

Производная этой функции будет равна: \( y' = x - 6 + \frac{8}{x} \)

Теперь приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \( x - 6 + \frac{8}{x} = 0 \)

Далее мы решаем это уравнение относительно \( x \). Перенесём все члены уравнения в левую сторону и умножим обе стороны на \( x \), чтобы избавиться от дроби: \( x^2 - 6x + 8 = 0 \)

Это квадратное уравнение, и его корни можно найти по формуле корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут \( x = 2 \) и \( x = 4 \). Это критические точки функции.

Теперь нам нужно определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом. Для этого мы можем использовать вторую производную или метод интервалов (проверить знаки первой производной до и после критических точек). В данном случае, достаточно проверить знаки первой производной на интервалах.

Проверим знаки производной на интервалах:

• Для \( x < 2 \), подставим значение меньше 2, например, \( x = 1 \): \( 1 - 6 + \frac{8}{1} = 3 > 0 \), производная положительна.
• Между 2 и 4, подставим значение, например, \( x = 3 \): \( 3 - 6 + \frac{8}{3} \approx -0.33 < 0 \), производная отрицательна.
• Для \( x > 4 \), подставим значение больше 4, например, \( x = 5 \): \( 5 - 6 + \frac{8}{5} > 0 \), производная положительна.

Таким образом, при переходе через \( x = 2 \), производная меняет знак с "+" на "-", значит, в точке \( x = 2 \) функция имеет максимум. При переходе через \( x = 4 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, в точке \( x = 4 \) функция имеет минимум.

Итак, ответ: точка максимума \( x_{max} = 2 \), точка минимума \( x_{min} = 4 \), что соответствует варианту C.