Федя

Привет, Федя. Давай разберемся с задачей.

Вопрос задачи звучит следующим образом: "Федя написал пять натуральных (положительных целых) чисел, а потом Матвей нашел все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 96, 98 и 99. Посмотрев полученные Матвеем значения, Толя сразу точно назвал одно из написанных Федей чисел. Какое это число?"

Чтобы решить задачу, нам нужно подумать о том, какие числа мог Федя записать, чтобы их попарные суммы давали всего три разных числа: 96, 98 и 99. Если у Толи есть достаточно информации, чтобы определить одно из чисел, значит, это число должно быть уникальным в каком-то смысле.

Если рассмотреть последовательность чисел и попарные суммы между ними, то для трёх чисел A, B и C возможны следующие попарные суммы: A+B, B+C и A+C. Мы видим, что самое большое число суммы — 99, что означает A+C=99. У нас есть две другие возможные суммы — 96 и 98. Разница между 96 и 98 равна 2, а разница между 98 и 99 равна 1. Это говорит нам о том, что B должно быть крайним числом, потому что B+C даёт 98, а A+B даёт 96, соответственно C=1 (поскольку A+C - самая большая сумма и она больше чем A+B и B+C лишь на единицу).

Теперь, зная, что C=1, можно вывести остальные числа. Если B+C=98, то B=97. Таким образом, A+B=96, и отсюда A=96-97=-1, но поскольку по условию числа натуральные, то ошибка в рассуждениях — мы не можем использовать отрицательные числа. Поскольку сумма 96 меньше суммы 98, то вычисленное значение для A оказалось отрицательным. Это означает, что B — не среднее число, а наименьшее из написанных Федей чисел, что говорит нам о том, что четвёртое и пятое числа ещё меньше B.

Попробуем другой способ: если предположить, что 98 — это сумма двух средних чисел, и 1 — это минимальное число, то другие числа могут быть равны 97 и 1 (они дают в сумме 98). Теперь, чтобы получить суммы 96 и 99, одно из чисел должно быть на 1 меньше 97 (чтобы в сумме с 1 дать 96), и одно на 1 больше (чтобы в сумме с 97 дать 99). Получаем, что числа, которые мог написать Федя, следующие: 1, 1, 96, 97, 98.

Толья мог угадать только одно уникальное число, поэтому единственным уникальным числом из списка является 96.

Ответ: Толя назвал число 96.