Найти промежутки возрастания и убывания

Привет! Давай разберёмся с твоей задачей.

Тебе нужно найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = -x^2 + 4x \).

Шаг 1: Для начала найдем производную функции \( f(x) \), потому что именно она показывает скорость изменения функции. Это нам поможет определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 2: Производная функции \( f'(x) \) будет равна \( -2x + 4 \).

Шаг 3: Теперь надо определить, где производная положительная, а где отрицательная. Для этого решим уравнение \( f'(x) = 0 \).

Шаг 4: Решим уравнение \( -2x + 4 = 0 \), отсюда получаем \( x = 2 \).

Шаг 5: Мы нашли критическую точку x=2, теперь разделим числовую ось на интервалы относительно этой точки и определим знак производной на каждом интервале.

Шаг 6: Если подставить значение \( x \) меньше 2 в производную \( f'(x) \), получим положительное значение, что говорит о возрастании функции на интервале \( (-\infty, 2) \).

Шаг 7: Если подставить значение \( x \) больше 2 в производную \( f'(x) \), получим отрицательное значение, что говорит об убывании функции на интервале \( (2, +\infty) \).

Итак, функция возрастает на промежутке \( (-\infty, 2) \) и убывает на промежутке \( (2, +\infty) \).