Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства того, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно проверить следующие условия:

1. Все стороны должны быть равны. Для этого нужно посчитать длины сторон PS, SQ, QT и TP.

PS = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - 3)^2 + (3 - 0)^2) = √((-4)^2 + (3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

SQ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-4 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

QT = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - (-4))^2 + (-4 - (-1))^2) = √((4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

TP = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, все стороны PS, SQ, QT и TP равны 5, что говорит о том, что четырехугольник PSQT - квадрат.

2. Углы должны быть прямыми. Для этого нужно проверить, что противоположные стороны параллельны и скалярное произведение векторов, образованных этими сторонами, равно 0.

Вектор PS = (Sx - Px, Sy - Py) = (-1 - 3, 3 - 0) = (-4, 3) Вектор ST = (Tx - Sx, Ty - Sy) = (0 - (-1), -4 - 3) = (1, -7)

Векторов (-4, 3) и (1, -7) не параллельны, следовательно, углы PSQ и STQ не прямые. Значит, четырехугольник PSQT не является квадратом.

Из этого следует, что площадь четырехугольника PSQT не может быть вычислена, так как он не является квадратом.