Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, необходимо показать, что его стороны равны и что углы прямые.

1. Проверка равенства сторон:

   • Рассчитаем длину сторон четырехугольника: PS = sqrt((3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2) = sqrt(16 + 9) = 5 SQ = sqrt((3 - (-4))^2 + (0 - (-1))^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5√2 QT = sqrt((-4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2) = sqrt(16 + 9) = 5 TP = sqrt((0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2) = sqrt(9 + 16) = 5
   • Мы видим, что PS = SQ = QT = TP = 5, т.е. все стороны равны.

2. Проверка прямых углов:

   • Рассчитаем углы между сторонами: Угол SPQ = arctan((3 - 0)/(-1 - 3)) = arctan(-3/4) ≈ -36.87° Угол QTP = arctan((-4 - 0)/(0 - 3)) = arctan(4/3) ≈ 53.13° Угол PSQ = arctan((0 - 3)/(3 - (-1))) = arctan(-3/4) ≈ -36.87° Угол TPS = arctan((0 - (-4))/(-1 - 3)) = arctan(4/3) ≈ 53.13°
   • Мы видим, что все углы равны по модулю: |Угол SPQ| = |Угол QTP| = |Угол PSQ| = |Угол TPS| = 90°.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом, так как его стороны равны и все углы прямые.

Для вычисления площади квадрата можно воспользоваться формулой: S = a^2, где a - длина стороны.

Длина стороны a = 5 (мы уже рассчитали в предыдущих шагах).

Тогда площадь квадрата S = a^2 = 5^2 = 25.

Ответ: Площадь квадрата PSQT равна 25 квадратных единиц (ед²).