Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.
Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, мы должны проверить несколько условий:
- Все стороны четырехугольника равны между собой.
Для этого вычислим длины всех сторон:
PQ = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-4 - 3)² + (-1 - 0)²) = √((-7)² + (-1)²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2
QS = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - (-4))² + (3 - (-1))²) = √((3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
ST = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((0 - (-1))² + (-4 - 3)²) = √((1)² + (-7)²) = √(1 + 49) = √50 = 5√2
TP = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - 0)² + (0 - (-4))²) = √((3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Как видим, все стороны четырехугольника равны 5√2 = 5.
- Все углы четырехугольника прямые.
Для этого проверим, что произведение коэффициентов наклона всех противоположных сторон равно -1.
Коэффициент наклона стороны PQ: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-1 - 0) / (-4 - 3) = -1 / -7 = 1/7
Коэффициент наклона стороны ST: m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-4 - 3) / (0 - (-1)) = (-7) / 1 = -7
Коэффициент наклона стороны QS: m₃ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (3 - (-1)) / (-1 - (-4)) = 4 / 3 = 4/3
Коэффициент наклона стороны TP: m₄ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (0 - (-4)) / (3 - 0) = 4 / 3 = 4/3
Как видим, m₁ * m₂ = (1/7) * (-7) = -1, а также m₃ * m₄ = (4/3) * (4/3) = 16/9 ≠ -1.
Таким образом, угол PST не является прямым, а значит, четырехугольник PSQT не является квадратом.
Однако, мы можем вычислить его площадь, используя формулу для четырехугольника в декартовой системе координат:
S = 0.5 * |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)|
S = 0.5 * |((3 * 3) + (-1 * (-4)) + ((-4) * 0) + (0 * 0)) - ((0 * 3) + (-4 * (-1)) + (0 * (-4)) + (3 * 0))|
S = 0.5 * |(9 + 4 + 0 + 0) - (0 + 4 + 0 + 0)|
S = 0.5 * |(13) - (4)|
S = 0.5 * |9|
S = 0.5 * 9
S = 4.5
Таким образом, площадь четырехугольника PSQT равна 4.5.
