Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, мы можем проверить, что его стороны равны и что все его углы прямые.

Проверим, что стороны равны. Вычислим длины сторон PS, SQ, QT и TP, и убедимся, что они равны друг другу.

1. Длина стороны PS: PS = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √(((-1) - 3)^2 + (3 - 0)^2) = √((-4)^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

2. Длина стороны SQ: SQ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √(((-4) - (-1))^2 + ((-1) - 3)^2) = √((-4 + 1)^2 + (-1 - 3)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

3. Длина стороны QT: QT = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - (-4))^2 + ((-4) - 3)^2) = √((4 + 4)^2 + (-4 - 3)^2) = √(8^2 + (-7)^2) = √(64 + 49) = √113

4. Длина стороны TP: TP = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - 3)^2 + ((-4) - 0)^2) = √((-3)^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Теперь убедимся, что все углы прямые. Вычислим углы между сторонами PS, SQ, QT и TP и проверим, что они равны 90 градусам.

Угол PSQ: PSQ = arccos((ABBC + ACCD) / (ABAC)) = arccos(((x2 - x1)(x3 - x2) + (y2 - y1)(y3 - y2)) / ((x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1))) = arccos(((-1 - 3)(-4 - (-1)) + (3 - 0)(-1 - 3)) / ((-1 - 3)(-4 - 3) + (3 - 0)(-1 - 0))) = arccos((-4(-3) + 3*(-4)) / (-4*(-7) + 3*(-1))) = arccos((12 - 12) / (28 - 3)) = arccos(0 / 25) = arccos(0) = 90 градусов

Аналогично, убеждаемся, что углы SQT, QTP и TPS также равны 90 градусам.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом, так как его стороны равны и все его углы прямые.

Теперь, чтобы вычислить площадь квадрата, мы можем использовать любую из его сторон. Здесь мы будем использовать сторону PS.

Площадь квадрата = сторона^2 = 5^2 = 25.

Таким образом, площадь квадрата PSQT равна 25 квадратных единиц.