Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства того, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно проверить следующие условия:

1. Длины сторон должны быть равны. Проверим: PS = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - (-1))² + (0 - 3)²] = √[4² + (-3)²] = √[16 + 9] = √25 = 5 SQ = √[(x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²] = √[(-4 - 3)² + (-1 - 0)²] = √[(-7)² + (-1)²] = √[49 + 1] = √50 = 5 QT = √[(x₄ - x₃)² + (y₄ - y₃)²] = √[(0 - (-4))² + (-4 - (-1))²] = √[4² + (-3)²] = √[16 + 9] = √25 = 5 TP = √[(x₁ - x₄)² + (y₁ - y₄)²] = √[(3 - 0)² + (0 - (-4))²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5

   Итак, все стороны равны 5, что является одним из свойств квадрата.

2. Углы должны быть прямыми. Для этого проверим, что произведение коэффициентов наклона противоположных сторон равно -1.

   Коэффициент наклона стороны PS: m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (3 - 0) / (-1 - 3) = 3 / (-4) = -3/4

   Коэффициент наклона стороны SQ: m₂ = (y₃ - y₂) / (x₃ - x₂) = (-1 - 3) / (-4 + 1) = (-4) / (-3) = 4/3

   Коэффициент наклона стороны QT: m₃ = (y₄ - y₃) / (x₄ - x₃) = (-4 - (-1)) / (0 - (-4)) = (-4 + 1) / (4) = -3/4

   Коэффициент наклона стороны TP: m₄ = (y₁ - y₄) / (x₁ - x₄) = (0 - (-4)) / (3 - 0) = (4) / (3) = 4/3

   Произведение коэффициентов наклона противоположных сторон: m₁ * m₂ = (-3/4) * (4/3) = -1 m₃ * m₄ = (-3/4) * (4/3) = -1

   Опять же, результаты равны -1, что является еще одним свойством квадрата.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом.

Для вычисления его площади, можно использовать формулу: Площадь = a², где а - длина стороны.

В данном случае, длина стороны квадрата равна 5, поэтому площадь будет равна: Площадь = 5² = 25 квадратных единиц.