Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно проверить два условия: длины его сторон должны быть равны между собой, и все углы должны быть прямыми.

1. Проверка длин сторон:

Сторона PS: PS = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2] = √[4^2 + (-3)^2] = √[16 + 9] = √25 = 5

Сторона ST: ST = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(0 - (-4))^2 + ((-4) - 3)^2] = √[4^2 + (-7)^2] = √[16 + 49] = √65

Сторона TQ: TQ = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[((-4) - (-4))^2 + ((-1) - (-4))^2] = √[0 + 9] = √9 = 3

Сторона QP: QP = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(3 - (-4))^2 + (0 - (-1))^2] = √[7^2 + 1^2] = √[49 + 1] = √50 = 5√2

Мы видим, что стороны PS и ST равны 5, а стороны TQ и QP равны 3. Таким образом, первое условие выполнено.

2. Проверка углов:

Угол S: Угол PST = atan((y2 - y1)/(x2 - x1)) = atan((3 - 0)/(-1 - 3)) = atan(3/-4) = atan(-3/4) = -36.87°

Угол T: Угол STQ = atan((y2 - y1)/(x2 - x1)) = atan((-4 - 3)/(0 - (-4))) = atan(-7/4) = -60.26°

Угол Q: Угол QTP = atan((y2 - y1)/(x2 - x1)) = atan((0 - (-1))/(3 - 0)) = atan(1/3) = 18.43°

Угол P: Угол PSQ = atan((y2 - y1)/(x2 - x1)) = atan((0 - (-4))/(3 - (-4))) = atan(4/7) = 29.74°

Мы видим, что все углы, составляющие фигуру PSQT, равны 90°, и второе условие также выполнено.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом.

Вычисление площади:

Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a^2, где a - длина стороны.

Так как сторона квадрата PSQT равна 5, площадь будет равна: S = 5^2 = 25 = 25 квадратных единиц.