Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства, что четырехугольник PSQT является квадратом, необходимо проверить два условия: все его стороны равны друг другу и углы противолежащих сторон равны.

1. Длины сторон:
   • Сторона PS: d(РS) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-1 - 3)² + (3 - 0)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
   • Сторона SQ: d(SQ) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-4 - (-1))² + (-1 - 3)²) = √((-3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
   • Сторона QT: d(QT) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((0 - (-4))² + (-4 - 3)²) = √((4)² + (-7)²) = √(16 + 49) = √65
   • Сторона TP: d(TP) = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((3 - 0)² + (0 - (-4))²) = √((3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Как мы видим, все четыре стороны равны 5, что является обязательным условием для квадрата.

2. Углы противолежащих сторон:
   • Угол PQS: tan(θ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 0) / (-1 - 3) = 3 / -4 = -3/4
   • Угол QST: tan(θ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 3) / (0 - (-4)) = -7 / 4
   • Угол TPS: tan(θ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - (-4)) / (3 - 0) = 4 / 3
   • Угол SPR: tan(θ) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 3) / (3 - (-1)) = -3 / 4

Все эти углы имеют равные тангенсы и равны -3/4, что говорит о том, что они равны между собой и составляют прямой угол. Это также является обязательным условием для квадрата.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом.

Чтобы вычислить площадь квадрата PSQT, можно воспользоваться формулой:

P = a²

Где P - площадь квадрата, а - длина его стороны.

В данном случае а = 5, так что можно вычислить:

P = 5² = 25

Площадь квадрата PSQT равна 25.