Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства того, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно проверить четыре условия:

1. Уровнение прямой, проходящей через точки P и S должно быть перпендикулярно уравнению прямой, проходящей через точки Q и T.
2. Уровнение прямой, проходящей через точки S и Q должно быть параллельно уравнению прямой, проходящей через точки P и T.
3. Длины сторон PS и QS должны быть равны.
4. Длины сторон PT и QT должны быть равны.

Найдем уравнения прямых, проходящих через данные точки:

1. PS: y = 3/4*x - 9/4
2. QT: y = 4/3*x + 4/3
3. ST: y = -4/3*x - 4/3
4. PQ: y = 3/4*x + 13/4

Уровнение прямой через P(3, 0) и S(-1, 3):

m1 = (3 - 0)/(3 - (-1)) = 3/4 m2 = (3 - (-1))/(-1 - 3) = 3/4

Так как m1*m2 = -1, то прямая, проходящая через P и S, перпендикулярна прямой, проходящей через Q и T.

Уровнение прямой через P(3, 0) и T(0, -4):

m1 = (0 - (-4))/(3 - 0) = 4/3 m2 = (-4 - 0)/(0 - 3) = 4/3

Так как m1 = m2, то прямая, проходящая через P и T, параллельна прямой, проходящей через S и Q.

Длины сторон: PS = √[(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2] = √[(4)^2 + (-3)^2] = √[16 + 9] = √25 = 5 QS = √[(-1 - (-4))^2 + (3 - (-1))^2] = √[(-1 + 4)^2 + (3 + 1)^2] = √[3^2 + 4^2] = √[9 + 16] = √25 = 5 PT = √[(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2] = √[(3)^2 + (4)^2] = √[9 + 16] = √25 = 5 QT = √[(-4 - 0)^2 + ((-1) - (-4))^2] = √[(-4)^2 + (3)^2] = √[16 + 9] = √25 = 5

Так как PS = QS = PT = QT = 5, все условия проверки равенства сторон выполняются.

Значит, четырехугольник PSQT является квадратом.

Площадь квадрата вычисляется по формуле: Площадь = сторона^2.

Таким образом, площадь квадрата PSQT = 5^2 = 25.