Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, нам необходимо проверить следующие условия:

1. Все стороны четырехугольника равны между собой. Для этого посчитаем длины сторон:

• PS = √((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2) = √((3 - 0)^2 + (-1 - 3)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5,
• SQ = √((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2) = √((-1 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2) = √(16 + 9) = √25 = 5,
• QT = √((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2) = √((-4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2) = √(16 + 9) = √25 = 5,
• TP = √((y2 - y1)^2 + (x2 - x1)^2) = √((0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Все стороны равны 5, поэтому это условие выполняется.

2. Углы противолежащих сторон четырехугольника равны 90 градусам. Для этого проверим, что произведение коэффициентов наклона противолежащих сторон равно -1.

• Коэффициент наклона стороны PS: mPS = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - 0) / (-1 - 3) = 3 / (-4) = -3/4.

• Коэффициент наклона стороны QS: mQS = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (-4 - (-1)) = (-4) / (-3) = 4/3.

• Коэффициент наклона стороны QT: mQT = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 0) / (0 - (-4)) = (-4) / 4 = -1.

• Коэффициент наклона стороны TP: mTP = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 3) / (-4 - 0) = (-3) / (-4) = 3/4.

Произведение коэффициентов наклона противолежащих сторон равно: (mPS * mQT) = (-3/4) * (-1) = 3/4, (mQS * mTP) = (4/3) * (3/4) = 1.

Произведения коэффициентов наклона равны 1, поэтому это условие также выполняется.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом.

Чтобы вычислить его площадь, мы можем использовать формулу для площади квадрата: Площадь = сторона^2.

В нашем случае сторона квадрата равна 5, поэтому: Площадь = 5^2 = 25.

Площадь четырехугольника PSQT равна 25.