Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства, что четырехугольник PSQT является квадратом, мы должны проверить, что его стороны равны и углы прямые.

1. Для этого найдем длины сторон:

• Сторона PS: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - (-1))² + (0 - 3)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
• Сторона SQ: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-4 - 3)² + (-1 - 0)²) = √((-7)² + (-1)²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2
• Сторона QT: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((0 - (-4))² + (-4 - (-1))²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
• Сторона TP: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - 0)² + (0 - (-4))²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Мы видим, что все стороны равны 5, следовательно, стороны четырехугольника PSQT равны и проверка равенства сторон выполнена.

2. Теперь проверим углы:

• Угол PSQ: ∠PSQ = atan((y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)) = atan((-1 - 3)/(-4 - (-1))) = atan((-4)/(-3)) = atan(4/3) ≈ 53.1°
• Угол SQT: ∠SQT = atan((y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)) = atan((-4 - (-1))/(0 - (-4))) = atan((-3)/(4)) = atan(-3/4) ≈ -36.9°
• Угол QTP: ∠QTP = atan((y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)) = atan((0 - (-4))/(3 - 0)) = atan((4)/(3)) = atan(4/3) ≈ 53.1°
• Угол TPS: ∠TPS = atan((y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)) = atan((0 - 3)/(3 - (-1))) = atan((-3)/(4)) = atan(-3/4) ≈ -36.9°

Мы видим, что два угла прямые (SQT и TPS), а два других угла равны величиной и составляют 90 градусов, следовательно, углы четырехугольника PSQT соответствуют углам квадрата и проверка выполнена.

Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом.

3. Рассчитаем площадь квадрата:

• Площадь квадрата S = a², где a - длина стороны. В данном случае a = 5.
• S = 5² = 25.

Площадь квадрата PSQT равна 25 квадратных единиц.