Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.

Для доказательства, что четырехугольник PSQT является квадратом, нам нужно проверить два условия:

1. Длины сторон должны быть равны.
2. Противоположные стороны должны быть параллельны.

Для начала, давайте вычислим длины сторон:

Пусть A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) - координаты двух точек A и B.

Длина стороны AB вычисляется по формуле:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Вычисляем длины сторон PS, SQ, QT и TP:

PS = √((-1 - 3)² + (3 - 0)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 SQ = √((-4 - (-1))² + (-1 - 3)²) = √((-3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 QT = √((0 - (-4))² + (-4 - (-1))²) = √((4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 TP = √((3 - 0)² + (0 - (-4))²) = √((3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Как видим, все стороны PSQT имеют равную длину 5.

Теперь давайте проверим, являются ли противоположные стороны параллельными:

Коэффициент наклона прямой AB вычисляется по формуле:

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Проверяем, являются ли стороны PS и QT параллельными:

k₁ = (3 - 0) / (-1 - 3) = 3 / (-4) = -3/4

k₂ = (-1 - (-4)) / (-4 - 0) = (3) / (-4) = -3/4

Коэффициенты наклона k₁ и k₂ равны, значит стороны PS и QT параллельны.

Проверяем, являются ли стороны SQ и TP параллельными:

k₃ = (-1 - 3) / (-4 - 0) = (-4) / (-4) = 1

k₄ = (0 - (-4)) / (3 - 0) = (4) / (3) = 4/3

Коэффициенты наклона k₃ и k₄ не равны, значит стороны SQ и TP не параллельны.

Очевидно, что стороны SQ и TP не могут быть параллельными, поэтому четырехугольник PSQT не является квадратом.

Чтобы вычислить площадь четырехугольника, можно использовать формулу площади треугольника:

S = 1/2 * |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

Используя координаты вершин PSQT:

S = 1/2 * |3(3 - (-4)) + (-1)(-4 - 0) + (-4)(0 - 3) + 0((-4) - 3)| = 1/2 * |3(7) + 4(4) + (-4)(-3) + 0(-7)| = 1/2 * |21 + 16 + 12 + 0| = 1/2 * |49| = 24.5

Площадь четырехугольника PSQT равна 24.5.