Пример

Хорошо, давай разберём эту задачу вместе! Нам нужно упростить следующее выражение:

\( \frac{6^4}{4^2 \cdot 9^3} + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{3})^2 \)

Начнем с первой части выражения:

\( \frac{6^4}{4^2 \cdot 9^3} \)

Заметь, что 6 - это 2*3, а 9 - это 3^2. Используем это, чтобы упростить:

\( \frac{(2 \cdot 3)^4}{4^2 \cdot (3^2)^3} \) \( \frac{2^4 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^6} \)

Так как в числителе и знаменателе есть одинаковые множители, можем их сократить:

\( \frac{3^4}{3^6} \) = \( \frac{1}{3^2} \) = \( \frac{1}{9} \)

Теперь перейдем ко второй части:

\( \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{3})^2 \)

Сначала упростим то, что в скобках:

\( 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \)

Теперь возведем в квадрат:

\( (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9} \)

И умножим на \( \frac{1}{2} \):

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{18} \)

Упростим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\( \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \)

Теперь сложим результаты двух частей выражения:

\( \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{9}{9} = 1 \)

Итак, итоговый результат упрощения заданного выражения равен 1.