.

Привет! Посмотрим, какую задачу нам предстоит решить.

На фотографии видно задание на нахождение предела функции. Нам нужно вычислить следующий предел:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{x} = \ln(x^2 + e^{2x}) \]

Для решения этой задачи предлагаю использовать свойство логарифмов, которое гласит, что \( \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \). Также полезно будет использовать то, что \( e^{2x} \) растет намного быстрее, чем \( x^2 \) при \( x \to \infty \), из-за чего \( x^2 \) можно считать незначительным слагаемым по сравнению с \( e^{2x} \) и оно не будет влиять на предел.

Тогда предел примет вид:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \ln\left(\frac{x^2}{e^{2x}} + 1\right) \]

Теперь, так как \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{e^{2x}} = 0 \), получим:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \ln(0 + 1) = \ln(1) \]

А так как логарифм от единицы равен нулю, то и искомый предел равен:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{x} = \ln(1) = 0 \]

Итак, предел функции равен нулю. Надеюсь, это поможет тебе с заданием! Если есть еще вопросы - обращайся.