Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов второго и четвертого из них на 166 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.

Давайте обозначим четыре последовательных натуральных числа как \( n, n+1, n+2, n+3 \).

Согласно условию задачи, у нас есть: \[ (n+1)^2 + (n+3)^2 = (n)^2 + (n+2)^2 + 166 \]

Теперь раскроем скобки: \[ n^2 + 2n + 1 + n^2 + 6n + 9 = n^2 + (n+2)^2 + 166 \] \[ 2n^2 + 8n + 10 = n^2 + n^2 + 4n + 4 + 166 \]

Упростим уравнение: \[ 2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 170 \] \[ 8n + 10 = 4n + 170 \] \[ 4n = 160 \] \[ n = 40 \]

Таким образом, четыре последовательных натуральных числа равны 40, 41, 42 и 43.