Реши пример

Привет! На картинке изображён пример интеграла. Задача состоит в том, чтобы найти значение определённого интеграла от функции \( \ln(x) \) по интервалу от \( e \) до \( e^3 \).

Итак, приступим по шагам.

Шаг 1: Вспоминаем формулу интегрирования для функции \( \ln(x) \): \[ \int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C \] где \( C \) — константа интегрирования.

Шаг 2: Применяем эту формулу для нахождения первообразной функции \( \ln(x) \).

Шаг 3: Находим значение определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] где \( F(x) \) — первообразная от функции \( f(x) \), найденная на шаге 2.

Шаг 4: Вычисляем значения для \( a = e \) и \( b = e^3 \): \[ F(e^3) = e^3\ln(e^3) - e^3 \] \[ F(e) = e\ln(e) - e \]

Шаг 5: Подставляем и считаем: \[ F(e^3) = e^3\cdot 3\cdot 1 - e^3 = 3e^3 - e^3 = 2e^3 \] \[ F(e) = e\cdot 1 - e = e - e = 0 \]

Шаг 6: Теперь вычитаем: \[ \int_{e}^{e^3} \ln(x) dx = F(e^3) - F(e) = 2e^3 - 0 = 2e^3 \]

Ответ: \( 2e^3 \). Это значение определённого интеграла от \( \ln(x) \) в пределах от \( e \) до \( e^3 \).