.
Привет! Давай вместе решим это неравенство шаг за шагом.
Для начала, нам нужно убедиться, что обе части неравенства определены, то есть аргументы логарифмов должны быть положительными. Итак:
- \(x^2 + x - 20 > 0\)
- \(4x - 2 > 0\)
Решим эти неравенства отдельно.
- \(x^2 + x - 20 > 0\) Факторизуем квадратичное выражение: \((x+5)(x-4) > 0\) Точки, в которых происходит изменение знака на противоположный, это \(x = -5\) и \(x = 4\). Нам нужны интервалы, где произведение положительное, значит:
\(x \in (-\infty, -5) \cup (4, +\infty)\)
- \(4x - 2 > 0\) Решаем: \(x > \frac{1}{2}\)
Теперь, когда мы убедились в области определения, можно перейти к самому неравенству: \( \lg(x^2 + x - 20) < \lg(4x - 2) \).
Поскольку функция логарифма возрастающая, то неравенство сохранит смысл и без логарифмов:
\(x^2 + x - 20 < 4x - 2\)
Перенесем все в левую часть:
\(x^2 + x - 4x - 20 + 2 < 0\)
Упростим:
\(x^2 - 3x - 18 < 0\)
Факторизуем:
\((x - 6)(x + 3) < 0\)
Опять находим точки, где происходит изменение знака:
\(x = 6\), \(x = -3\).
Так как перед нами неравенство "меньше нуля", интересует интервал между корнями:
\(x \in (-3, 6)\)
Однако не забудем ограничения, которые у нас есть из области определения логарифмов:
- \(x > \frac{1}{2}\)
- \(x \in (-\infty, -5) \cup (4, +\infty)\)
Пересекая все эти интервалы, получаем решение неравенства:
\(x \in \left(\frac{1}{2}, 4\right)\)
Количество целочисленных решений в данном интервале: \(1, 2, 3\). То есть три решения.
Вот таким образом мы нашли решение неравенства и количество его целочисленных решений. Если что-то непонятно, спрашивай, разберем по подробнее!
