Реши первое

Давай решим первый пункт задачи 546.

Из условия известно, что \( \text{sin} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это значит, что угол α находится во второй четверти тригонометрической окружности, где косинус угла отрицательный.

Для нахождения косинуса α можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: \( \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 \).

Подставим известное значение синуса в эту формулу:

\( \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \text{cos}^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{3}{9} + \text{cos}^2 \alpha = 1 \)

\( \text{cos}^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} \)

\( \text{cos}^2 \alpha = \frac{2}{3} \)

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( \text{cos} \alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Но так как по условию \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), то косинус будет отрицательным во второй четверти:

\( \text{cos} \alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Это и будет ответом.